Algo de representaciones gráficas

El diagrama PERT es una representación gráfica de las relaciones entre las tareas del proyecto que permite calcular los tiempos del proyecto de forma sencilla.

·         Es un grafo, o sea, un conjunto de puntos (nodos) unidos por flechas.

·         Representa las relaciones entre las tareas del proyecto, no su distribución temporal.

·         Las flechas del grafo corresponden a las tareas del proyecto.

·         Los nodos del grafo, representado por círculos o rectángulos, corresponden a instantes del proyecto. Cada nodo puede representar hasta dos instantes distintos, el inicio mínimo de las tareas que parten del nodo y el final máximo de las tareas que llegan al mismo.

·         Es una herramienta de cálculo, y una representación visual de las dependencias entre las tareas del proyecto.

Tarea   Predec.   Duración  A - 2 B A 3 C - 2 D C 3 E DII+1 2 F BFI-1 3 G D, E, F 3 H GFF 2

Para construir un diagrama PERT se han de tener en cuenta las siguientes reglas

·         Los nodos representan instantes del proyecto. Cada nodo representa el inicio mínimo (im) de las tareas que tienen origen en dicho nodo y el final máximo (FM) de las tareas que llegan al mismo.

·         Sólo puede haber un nodo inicial y un nodo final. O sea, sólo puede haber un nodo al que no llegue ninguna flecha (nodo inicial) y sólo puede haber un nodo del que no salga ninguna flecha (nodo final).

·         La numeración de los nodos es arbitraria, si bien se reserva el número menor (generalmente el 0 o el 1) para el nodo inicial y el mayor para el nodo final.

·         Las flechas representan tareas y se dibujan de manera que representen las relaciones de dependencia entre las tareas. Los recorridos posibles a través del diagrama desde el nodo inicial al nodo final, siguiendo el sentido de las flechas, deben corresponder con las secuencias en que deben realizarse las distintas tareas, o sea, los caminos del proyecto.

·         No puede haber dos nodos unidos por más de una flecha.

·         Se pueden introducir tareas ficticias con duración 0, que acostumbran a notarse f(0), para evitar construcciones ilegales o representar dependencias entre tareas, como en los ejemplos siguientes.

Ejemplo 1:
Las tareas I y J dependen de la tarea H, mientras que la tarea K depende, a su vez, de I y J; la representación más inmediata sería la mostrada en el gráfico anterior, que no está permitida, siendo la correcta:
Ejemplo 2:
La tarea J depende de H y la tarea K depende de H e I. Siguiendo las flechas, puede comprobarse que el gráfico propuesto define los caminos H-J y H-K e I-K.
Ejemplo 3:
En el proyecto con las relaciones de dependencia establecidas en la siguiente tabla, es necesario utilizar dos tareas ficticias para representar la relación de dependencia de la tarea E, ya que sería imposible hacerlo de otro modo sin vincularla también la las tareas C o D.

Tarea   Predec.  A - B - C A D B E A, B

Veremos, a continuación, la representación de las relaciones básicas de dependencia:

·         Relación Fin-Inicio (FI).

·         Relación Fin-Inicio (FI) con retardo. El retardo se representa como una tarea fictica de duración igual al retardo; si el retardo es negativo, se ha de indicar su signo y tenerlo en cuenta al realizar los cálculos.

·         Relación Inicio-Inicio (II). Para su representación en el diagrama se sustituye la relación II por una relación equivalente a efectos de cálculo: una relación Fin-Inicio con un retardo negativo igual a la duración de la tarea predecesora.

·         Relación Inicio-Inicio (II) con retardo. Se introduce una tarea ficticia adicional con la duración del retardo, como en el caso Fin-Inicio. Si se desea, se pueden sumar (teniendo en cuenta sus signos) las duraciones de las tareas ficticias correspondientes al tipo de relación y al retardo y representarlas mediante una única tarea ficticia.

·         Relación Fin-Fin (FF). Para su representación en el diagrama se sustituye la relación FF por una relación equivalente a efectos de cálculo: una relación Fin-Inicio con un retardo negativo igual a la duración de la tarea sucesora.

·         Relación Fin-Fin (FF) con retardo. Se introduce una tarea ficticia adicional con la duración del retardo, como en el caso Fin-Inicio. Si se desea, se pueden sumar (teniendo en cuenta sus signos) las duraciones de las tareas ficticias correspondientes al tipo de relación y al retardo y representarlas mediante una única tarea ficticia.

Para seguir paso a paso la construcción de un diagrama PERT, consulte el ejemplo

Cálculos

El diagrama PERT permite calcular los inicios mínimos y los finales máximos de todas las tareas del proyecto. En cada nodo obtendremos el inicio mínimo de todas las tareas que tengan origen en ese nodo y el final máximo de todas las tareas que lleguen a él. En todas las ilustraciones y ejemplos de este curso situaremos los inicios mínimos en la parte superior del nodo y los finales máximos en la parte inferior.

En primer lugar se calculan todos los inicios mínimos del proyecto; para ello:

·         Por definición, el inicio mínimo de un proyecto es el instante cero de ese proyecto. por lo tanto, se ha de poner un cero en la parte superior del primer nodo.

·         Si al inicio mínimo (im) de una tarea T_i le sumamos la duración de la misma, obtendremos el final mínimo (fm) de dicha tarea: fm_i=im_i+d_i. Si la tarea T_j depende sólo de la tarea T_i con una relación fin-inicio, T_j sólo podrá iniciarse una vez que la tarea precedente (T_i) haya terminado. O sea, el inicio mínimo de T_j será igual al fin mínimo de T_i:

imj = fmi = imi+di

·         Por lo tanto, se ha de recorrer el diagrama en el sentido de las flechas. En la parte superior de cada nodo se escribe el valor resultante de sumar la duración de la tarea mediante la que se llega al nodo y el valor en la parte superior del nodo del que procede.

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·         Si una tarea T_j depende de varias tareas T_i con una relación fin-inicio, la tarea T_i no se podrá iniciar hasta que no hayan terminado todas las tareas T_i, o sea, el inicio mínimo de T_jes igual al mayor de los finales mínimos de las tareas T_i:

imj = max(fmi)

·         Por lo tanto, sobre el grafo, cuando a un nodo llegan varias flechas se deben calcular los valores obtenidos a través de los distintos caminos de llegada al nodo y tomar el mayor de dichos valores.

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·         El último nodo representa el final del proyecto. En este punto ya conocemos los inicios mínimos de todas las tareas del proyecto. El valor en la parte superior del nodo es el inicio mínimo de cualquier tarea que se realice una vez terminado el proyecto, por lo que corresponde con el fin mínimo del proyecto. Normalmente nos interesa hacer los cálculos de manera que reflejen lo más pronto que se puede acabar el proyecto, por lo que fijaremos el fin máximo del proyecto igual a su fin mínimo.

fmproy = FMproy

·         Así, una vez se llega al último nodo, se copia en la parte inferior el valor obtenido en la parte superior.

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A continuación se calcularán todos los finales máximos del proyecto:

·         Si al final máximo de una tarea T_j le restamos su duración, obtendremos su inicio máximo (lo más tarde que puede empezar sin retrasar el proyecto), o sea: IM_j = FM_j-d_j. Si la tarea T_j depende sólo de la tarea T_i con una relación fin-inicio, la tarea T_i no podrá acabar más tarde del inicio máximo de T_j sin retrasar el proyecto, o sea, lo más tarde que puede terminar T_i es lo más tarde que puede empezar T_j:

FMi = IMj = FMj-dj

·         Por lo tanto, se ha de recorrer el diagrama en sentido inverso al de las flechas empezando por el nodo final. En la parte inferior de cada nodo se escribe el valor resultante de restar la duración de la tarea que parte del nodo calculado al valor en la parte inferior del nodo al que llega la tarea.

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·         Si varias tareas T_j dependen de una o más tareas T_i, lo más tarde que podrán terminar las tareas T_i sin retrasar el proyecto será lo más tarde que podrá empezar la primera de las tareas T_j, o sea, aquella cuyo inicio mínimo sea menor. De este modo:

FMi = mín(IMj) = mín(FMj-dj)

·         Así, cuando de un nodo parten varias flechas, se deben calcular los valores obtenidos a través de cada una de ellas y tomar el menor de dichos valores.

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·         El primer nodo del proyecto corresponde a su inicio, así que el valor obtenido como fin máximo se refiere al fin máximo que debería tener cualquier actividad previa al proyecto. Para que el proyecto pueda empezar en el instante 0, el fin máximo de cualquier actividad previa deberá también ser 0, por lo que éste deberá de ser el valor que obtengamos en la parte inferior del primer nodo.

Aunque la obtención de un cero en la parte inferior del primer nodo no nos garantiza que los cálculos sean correctos, si se obtiene cualquier otro valor se podrá afirmar que existe algún error en los cálculos realizados.